Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 87∘. Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.
Для решения задачи, давайте вспомним важные свойства окружности. Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен половине разности величин наклонных дуг.
В вашем случае угол между касательными равен 87°. Мы можем использовать формулу:
\( \theta = \frac{1}{2} (a - b) \)
где \( \theta \) – угол между касательными, \( a \) и \( b \) – градусные меры больших и меньших дуг соответственно.
Зная, что \( \theta = 87° \), у нас получится:
\( 87° = \frac{1}{2} (a - b) \)
Умножим обе стороны на 2:
\( 174° = a - b \)
Теперь мы знаем, что разность между большими и меньшими дугами составляет 174°. Поскольку сумма всех дуг в окружности равна 360°, можем записать:
\( a + b = 360° \)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a - b = 174° \)
- \( a + b = 360° \)
Теперь решим эту систему. Сложим оба уравнения:
\( (a - b) + (a + b) = 174° + 360° \)
Это упростится до:
\( 2a = 534° \)
Разделим на 2:
\( a = 267° \)
Теперь подставим значение \( a \) в одно из уравнений, например, во второе:
\( 267° + b = 360° \)
Отсюда:
\( b = 360° - 267° = 93° \)
Теперь у нас есть следующие значения:
- Большая дуга \( a = 267° \)
- Меньшая дуга \( b = 93° \)
Ответ на ваш вопрос:
Градусная мера меньшей из дуг, заключённых между точками касания, равна 93°.
