найдите объём параллелепипеда построенного на вектора a, b, c. a=(-6;6;6), b=(2;2;6), c=(-8;1;-4)

Чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\), можно использовать формулу, основанную на скалярном произведении векторов. Объем \(V\) равен абсолютному значению смешанного произведения векторов, которое вычисляется следующим образом:

\[ V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| \]

Где \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \) – это векторное произведение векторов \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\), а \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \) – скалярное произведение вектора \(\mathbf{a}\) с результатом векторного произведения.

Давайте сначала вычислим векторное произведение \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\):

\[ \mathbf{b} = (2, 2, 6), \quad \mathbf{c} = (-8, 1, -4) \]

Векторное произведение \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 6 \\ -8 & 1 & -4 \end{vmatrix} \]

Рассмотрим определитель:

\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(2 \cdot (-4) - 6 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot (-4) - 6 \cdot (-8)) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 2 \cdot (-8)) \] \[ = \mathbf{i}(-8 - 6) - \mathbf{j}(-8 + 48) + \mathbf{k}(2 + 16) \] \[ = \mathbf{i}(-14) - \mathbf{j}(40) + \mathbf{k}(18) \] \[ = (-14, -40, 18) \]

Теперь можем найти скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\):

\[ \mathbf{a} = (-6, 6, 6) \]

Теперь вычислим:

\[ \mathbf{a} \cdot (-14, -40, 18) = -6 \cdot (-14) + 6 \cdot (-40) + 6 \cdot 18 \] \[ = 84 - 240 + 108 \] \[ = 84 - 240 + 108 = -48 \]

Теперь подставим в формулу для объема:

\[ V = | -48 | = 48 \]

Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\), равен \(48\) единицам объема.