Построй график функции y = ∣ 2 x ∣ ( x + 2 ) + 2 x y=∣2x∣(x+2)+2x и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Давайте сначала проанализируем функцию \( y = |2x|(x + 2) + 2x \).
Определим функцию на разных промежутках:
- Для \( x \geq 0 \), выражение \( |2x| = 2x \). Таким образом, \[ y = 2x(x + 2) + 2x = 2x^2 + 4x + 2x = 2x^2 + 6x. \]
- Для \( x < 0 \), выражение \( |2x| = -2x \). Таким образом, \[ y = -2x(x + 2) + 2x = -2x^2 - 4x + 2x = -2x^2 - 2x. \]
Теперь у нас есть две части функции:
- \( y = 2x^2 + 6x \) для \( x \geq 0 \)
- \( y = -2x^2 - 2x \) для \( x < 0 \)
Найдем график каждой части и их пересечения с прямой \( y = m \):
Для \( x \geq 0 \): \[ 2x^2 + 6x = m \] Это квадратное уравнение: \[ 2x^2 + 6x - m = 0. \] Для того чтобы оно имело два разных корня, дискриминант должен быть положительным: \[ D_1 = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 36 + 8m > 0. \] Отсюда: \[ 8m > -36 \implies m > -4.5. \]
Для \( x < 0 \): \[ -2x^2 - 2x = m \implies 2x^2 + 2x + m = 0. \] Дискриминант: \[ D_2 = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 4 - 8m. \] Для этого уравнения, чтобы имело два различных корня: \[ 4 - 8m > 0 \implies 8m < 4 \implies m < 0.5. \]
Объединяя условия для \( m \):
- Из первого условия: \( m > -4.5 \)
- Из второго условия: \( m < 0.5 \)
Таким образом, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, находятся в диапазоне: \[ -4.5 < m < 0.5. \]
Ответ на ваш вопрос о значениях \( m \) будет: \[ -4.5 0.5. \]
С учетом ограничения, разделим этот интервал на два значения: -4 и 0 (приблизительно). Записываем их в порядке возрастания: \[ -4 0. \]
