Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых состоит из трех цифр, не начинается с нечётных цифр, не оканчивается цифрами 2 и 6 и содержит не более одной цифры 7?
Чтобы определить, сколько восьмеричных чисел состоит из трёх цифр и соответствует заданным условиям, давайте разберем каждое из условий по очереди.
Восьмеричная запись из трех цифр: Числа должны быть в диапазоне от 100 до 777 (восьмеричная запись), поскольку трехзначные восьмеричные числа начинаются с 1 и могут заканчиваться на 7.
Не начинается с нечётных цифр: В восьмеричной системе имеются 8 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Чётные цифры в восьмеричной системе — это 0, 2, 4, 6. Для трехзначных чисел первой цифрой может быть только 2, 4 или 6. Таким образом, у нас есть 3 возможных выбора для первой цифры.
Не оканчивается цифрами 2 и 6: Последней цифрой числа могут быть: 0, 1, 3, 4, 5, 7. Здесь у нас 6 возможных цифр на выбор.
Содержит не более одной цифры 7: Мы можем рассмотреть два случая:
Случай 1: Число не содержит 7. В этом случае для второй и третьей цифр можем использовать 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (то есть 7 вариантов для каждой цифры). Для второй цифры – 7 вариантов, для третьей – 6 вариантов (так как она не может быть 2 или 6). Общее количество для этого случая: \[ 3 \text{ (для первой)} \times 7 \text{ (для второй)} \times 6 \text{ (для третьей)} = 126. \]
Случай 2: Число содержит одну цифру 7. В этом случае цифра 7 может находиться либо на второй, либо на третьей позиции:
- Если 7 на второй позиции, первая может быть 2, 4 или 6, а третья не может быть 2 или 6 (0, 1, 3, 4, 5, 7) - 6 возможных вариантов. \[ 3 \times 1 \times 6 = 18. \]
- Если 7 на третьей позиции, первая также может быть 2, 4 или 6, вторая может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (но не 2, если используется) - 7 возможных вариантов. \[ 3 \times 7 \times 1 = 21. \]
Таким образом, общее количество для случая с одной цифрой 7: \[ 18 + 21 = 39. \]
Суммируем все возможные варианты:
- Без 7: 126.
- С одной 7: 39.
Общее количество подходящих чисел: \[ 126 + 39 = 165. \]
Таким образом, существует 165 восьмеричных чисел, которые соответствуют заданным условиям.
