Угол между плоскостями. найдите косинус угла между плоскостями -7x-6y+4z-3=0 и 5x+4y+3z+5=0.

Для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями нужно использовать их нормальные векторы. Уравнения плоскостей имеют вид:

1. Плоскость 1: -7x - 6y + 4z - 3 = 0
2. Плоскость 2: 5x + 4y + 3z + 5 = 0

Нормальные векторы этих плоскостей можно получить из коэффициентов при x, y, z:

• Нормальный вектор первой плоскости: \( \vec{n_1} = (-7; -6; 4) \)
• Нормальный вектор второй плоскости: \( \vec{n_2} = (5; 4; 3) \)

Теперь для нахождения косинуса угла между нормальными векторами используем следующую формулу:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

где \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{n_1}| \) и \( |\vec{n_2}| \) — их длины.

1. Рассчитаем скалярное произведение \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \):

\[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-7) \cdot 5 + (-6) \cdot 4 + 4 \cdot 3 = -35 - 24 + 12 = -47 \]

2. Найдем длины векторов:

\[ |\vec{n_1}| = \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101} \]

\[ |\vec{n_2}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} \]

3. Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos \theta = \frac{-47}{\sqrt{101} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-47}{\sqrt{5050}} \]

Таким образом, косинус угла между плоскостями равен \( \frac{-47}{\sqrt{5050}} \). Это и есть искомое значение.