Найдите синус косинус и тангенс угла АОМ если О-начало координат, а точки А(1;0), М(-1/5;у) лежат на единичной полуокружности
Чтобы найти синус, косинус и тангенс угла АОМ, нам нужно сначала определить координаты точки М, которая также лежит на единичной полуокружности.
Единичная полуокружность имеет уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \). Мы знаем, что точка A(1; 0) находится на правом конце полуокружности, и ей соответствует угол 0 радиан.
Для точки М(-1/5; y) подставим координаты в уравнение единичной окружности: \[ \left(-\frac{1}{5}\right)^2 + y^2 = 1 \] Это упрощается до: \[ \frac{1}{25} + y^2 = 1 \] Выразим \(y^2\): \[ y^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \] Таким образом, \(y = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}\).
Теперь у нас есть две возможные точки для М: \( M\left(-\frac{1}{5}, \frac{2\sqrt{6}}{5}\right) \) и \( M\left(-\frac{1}{5}, -\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) \). Рассмотрим первый вариант (с положительным y).
Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла АОМ:
- Косинус угла АОМ: это отношение прилежащей стороны (Ox) к гипотенузе: \[ \cos(AOM) = \frac{x_M}{r} = \frac{-\frac{1}{5}}{1} = -\frac{1}{5} \]
- Синус угла АОМ: это отношение противолежащей стороны (Oy) к гипотенузе: \[ \sin(AOM) = \frac{y_M}{r} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{1} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \]
- Тангенс угла АОМ: это отношение синуса к косинусу: \[ \tan(AOM) = \frac{\sin(AOM)}{\cos(AOM)} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = -2\sqrt{6} \]
Таким образом, для угла АОМ мы имеем:
- \(\sin(AOM) = \frac{2\sqrt{6}}{5}\),
- \(\cos(AOM) = -\frac{1}{5}\),
- \(\tan(AOM) = -2\sqrt{6}\).
Если точка M имела отрицательное значение y, результаты по синусу и тангенсу будут соответствующим образом изменяться на отрицательные.
