даны уравнения двух плоскостей в пространстве. выясните их взаимное расположение. a: 7x-y+z+5=0, b: x+7y-4=0. варианты: 1 совпадают 2 параллельны 3 перпендикулярны 4 пересекаются…

Для выяснения взаимного расположения двух плоскостей, заданных уравнениями, нужно привести их к стандартному виду и проанализировать нормальные векторы плоскостей.

Уравнение первой плоскости (a):
\[ 7x - y + z + 5 = 0 \]
можно переписать в виде:
\[ 7x - y + z = -5 \]
Нормальный вектор к этой плоскости будет:
\[ \vec{n_1} = (7, -1, 1) \]

Уравнение второй плоскости (b):
\[ x + 7y - 4 = 0 \]
можно переписать в виде:
\[ x + 7y = 4 \]
или:
\[ x + 7y + 0z = 4 \]
Нормальный вектор к этой плоскости будет:
\[ \vec{n_2} = (1, 7, 0) \]

Теперь мы можем проверить, являются ли эти плоскости параллельными, перпендикулярными или пересекаются:

1. Параллельные плоскости имеют нормальные векторы, пропорциональные друг другу. В данном случае,
   \[ \vec{n_1} = (7, -1, 1) \] и
   \[ \vec{n_2} = (1, 7, 0) \]
   не являются пропорциональными, поэтому плоскости не параллельны.

2. Перпендикулярные плоскости удовлетворяют условию, что их скалярное произведение равно нулю. Проводим вычисление:
   \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 7 \cdot 1 + (-1) \cdot 7 + 1 \cdot 0 = 7 - 7 + 0 = 0 \]
   Скалярное произведение равно нулю, следовательно, плоскости перпендикулярны.

Таким образом, правильный ответ:
3. перпендикулярны.