Контрольная работа № 3 Тема. Умножение одночлена на многочлен. Умножение многочлена на многочлен. Разложение многочленов на множители. 1. Представьте в виде многочлена…

Конечно! Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Представьте в виде многочлена стандартного вида:

1. \( 3x(x^3 - 4x + 6) \) \[ = 3x^4 - 12x^2 + 18 \]

2. \( (x - 3)(2x + 1) \) \[ = 2x^2 + x - 6 \]

3. \( (4a - 7b)(5a + 6b) \) \[ = 20a^2 + 24ab - 35ab - 42b^2 = 20a^2 - 11ab - 42b^2 \]

4. \( (y + 2)(y^2 + y - 8) \) \[ = y^3 + y^2 - 8y + 2y^2 + 2y - 16 = y^3 + 3y^2 - 6y - 16 \]

2. Разложите на множители:

1. \( 5a^2 - 20ab \) \[ = 5a(a - 4b) \]

2. \( 7x^3 - 14x^5 \) \[ = 7x^3(1 - 2x^2) \]

3. \( 3a - 3b + ax - bx \) \[ = 3(a - b) + x(a - b) = (3 + x)(a - b) \]

3. Решите уравнение:

\( 4x^2 - 12x = 0 \)

Факторизуем: \[ 4x(x - 3) = 0 \] Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 3 \).

4. Упростите выражение:

\( 2a(3a - 5) - (a - 3)(a - 7) \)

Сначала упростим каждое выражение:

\[ 2a(3a - 5) = 6a^2 - 10a \] \[ (a - 3)(a - 7) = a^2 - 7a - 3a + 21 = a^2 - 10a + 21 \]

Теперь сложим их: \[ 6a^2 - 10a - (a^2 - 10a + 21) = 6a^2 - 10a - a^2 + 10a - 21 = 5a^2 - 21 \]

5. Решите уравнение:

1. \( \frac{2x + 9}{4} - \frac{x - 2}{6} = 3 \)

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{3(2x + 9) - 2(x - 2)}{12} = 3 \] Умножим обе стороны на 12: \[ 3(2x + 9) - 2(x - 2) = 36 \] Решим: \[ 6x + 27 - 2x + 4 = 36 \\ 4x + 31 = 36 \\ 4x = 5 \\ x = \frac{5}{4} \]

2. \( (2x - 3)(x + 7) = (x + 4)(2x - 3) + 3 \)

Так как обе стороны уравнения равны, можно просто искать \( x \) из уравнений:

Сравним: \[ (2x - 3)(x + 7) = 2x^2 + 14x - 3x - 21 = 2x^2 + 11x - 21 \] \[ = (x + 4)(2x - 3) + 3 \Rightarrow 2x^2 + 8x - 3x - 12 + 3 = 2x^2 + 5x - 9 \]

У равенств одинаковые коэффициенты: \( x^2 \), поэтому уравнение всегда верно.

6. Найдите значение выражения:

\( 18xy + 6x - 24y - 8 \) при \( x = \frac{5}{3}, y = 0.4 \):

Подставляем: \[ = 18 \cdot \frac{5}{3} \cdot 0.4 + 6 \cdot \frac{5}{3} - 24 \cdot 0.4 - 8 \] \[ = 30 + 10 - 9.6 - 8 = 30 + 10 - 9.6 - 8 = 22.4 \]

7. Докажите, что значение выражения \( 16^5 - 8^6 \) кратно 3:

\( 16 = 2^4 \) и \( 8 = 2^3 \). Таким образом: \[ 16^5 = (2^4)^5 = 2^{20}, \quad 8^6 = (2^3)^6 = 2^{18} \] Следовательно: \[ 16^5 - 8^6 = 2^{20} - 2^{18} = 2^{18}(2^2 - 1) = 2^{18} \cdot 3 \] Поскольку \( 2^{18} \) - целое, \( 3 \) кратно.

8. Разложите на множители трёхчлен:

\( x^2 + 8x + 15 \)

Ищем два числа, которые в сумме дают 8, а в произведении 15: \[ (x + 3)(x + 5) \]

Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать! Удачи в учебе!