m²–6m–11=0 решить этот пример через теорему Виета
Чтобы решить уравнение \( m^2 - 6m - 11 = 0 \) с использованием теоремы Виета, сначала нам нужно понять, какие корни у этого квадратного уравнения.
Теорема Виета гласит, что для уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) (в нашем случае \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = -11 \)) сумма корней \( m_1 + m_2 \) равна \( -\frac{b}{a} \), а произведение корней \( m_1 \cdot m_2 \) равно \( \frac{c}{a} \).
Найдем сумму корней: \[ m_1 + m_2 = -\frac{-6}{1} = 6 \]
Найдем произведение корней: \[ m_1 \cdot m_2 = \frac{-11}{1} = -11 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( m_1 + m_2 = 6 \)
- \( m_1 \cdot m_2 = -11 \)
С помощью этой информации можно выразить один корень через другой. Пусть \( m_1 = x \), тогда \( m_2 = 6 - x \).
Подставим \( m_2 \) в уравнение для произведения: \[ x(6 - x) = -11 \]
Раскроем скобки: \[ 6x - x^2 = -11 \]
Приведем все в одно уравнение: \[ x^2 - 6x - 11 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80 \]
Корни уравнения находят по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5} \]
Таким образом, \[ m_1 = 3 + 2\sqrt{5}, \quad m_2 = 3 - 2\sqrt{5} \]
Ответ: корни уравнения \( m^2 - 6m - 11 = 0 \) по теореме Виета: \( m_1 = 3 + 2\sqrt{5} \) и \( m_2 = 3 - 2\sqrt{5} \).
