6. Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если AM : AK = 3 : 5, AB = 5, BC = 7.

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойством секущих, проходящих через окружность, и пропорциями отрезков.

Дано:

• \( AB = 5 \)
• \( BC = 7 \)
• Соотношение \( AM : AK = 3 : 5 \)

Сначала найдем длину отрезка \( AC \): \[ AC = AB + BC = 5 + 7 = 12 \]

Теперь обозначим длину отрезка \( AM \) как \( 3x \) и длину отрезка \( AK \) как \( 5x \).

Согласно свойству секущих, произведение длин отрезков, пересекающих окружность из одной точки, должно быть равным: \[ AM \cdot AK = AB \cdot AC \]

Подставим известные значения: \[ (3x) \cdot (5x) = 5 \cdot 12 \] \[ 15x^2 = 60 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \]

Теперь можем найти длины отрезков: \[ AM = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \] \[ AK = 5x = 5 \cdot 2 = 10 \]

Таким образом, мы находим:

• Длина отрезка \( AM = 6 \)
• Длина отрезка \( AK = 10 \)

Ответ: Длина отрезка \( AM = 6 \), длина отрезка \( AK = 10 \).