Вычислить предел

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

Нам нужно найти предел выражения:

\[ \lim_{x \to 0} \left( 1 + x \sin^2 x \right)^{\frac{1}{\ln(1 + x^5)}}. \]

1. Аппроксимируем логарифм: При малых \( x \), \(\ln(1 + x^5) \approx x^5\).

2. Упрощаем выражение: Переходя к пределу, можно воспользоваться логарифмом: \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x \sin^2 x)}{x^5}. \] При малых \( x \), используем разложение: \[ \ln(1 + x \sin^2 x) \approx x \sin^2 x. \]

3. Площадь синуса: Заметим, что \(\sin^2 x \approx x^2\) для малых \( x \). Поэтому: \[ x \sin^2 x \approx x^3. \]

4. Подставляем и решаем: Теперь наш предел выглядит как: \[ \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^5} = \lim_{x \to 0} x^{-2} = 0. \]

5. Вывод: \(\ln L = 0\) означает, что \(L = e^0 = 1\).

Итак, предел равен \(1\). Если что-то непонятно или есть вопросы, пиши!