Вася составляет 4-буквенные слова, в которых встречаются только буквы В, З, Г, Л, Я, Д, причём буква З появляется ровно 1 или 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?
Чтобы решить задачу о количестве 4-буквенных слов, которые Вася может составить с указанными условиями, будем рассматривать два случая: когда буква З встречается 1 раз и когда буква З встречается 2 раза.
Случай 1: З встречается 1 раз.
Выберем позицию для буквы З: Буква З может находиться в любой из 4 позиций, значит, у нас 4 варианта.
Заполним оставшиеся 3 позиции: В этих позициях могут находиться буквы В, Г, Л, Я, Д (без ограничения на количество раз). Это 5 возможных букв и для каждой из 3 позиций будет 5 вариантов. Таким образом, количество возможных комбинаций для трех оставшихся позиций:
\[ 5^3 = 125 \]
- Общее количество слов в этом случае:
\[ 4 \times 125 = 500 \]
Случай 2: З встречается 2 раза.
- Выберем позиции для букв З: Из 4 позиций нам нужно выбрать 2 для буквы З. Это можно сделать с помощью комбинаций, и количество способов выбрать 2 позиции из 4:
\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 \]
- Заполним оставшиеся 2 позиции: Как и в первом случае, на эти позиции могут стоять буквы В, Г, Л, Я, Д. Значит, для двух оставшихся позиций также будет по 5 вариантов:
\[ 5^2 = 25 \]
- Общее количество слов в этом случае:
\[ 6 \times 25 = 150 \]
Общее количество слов:
Сложим количество слов из двух случаев:
\[ 500 + 150 = 650 \]
Таким образом, существует 650 различных 4-буквенных слов, которые может составить Вася.
