3. Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДА и АС, если МА = 6 см, АК=15 см, СА: АД = 2: 5.

Чтобы решить задачу, можем использовать свойства пересечения хорд в окружности. Известно, что если две хорды пересекаются в точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Дано:

• \(MA = 6 \, \text{см}\)
• \(AK = 15 \, \text{см}\)
• Отношение \(CA : AD = 2 : 5\)

Обозначим длины отрезков:

• \(AD = x\)
• \(CA = y\)

По условию, имеем \( \frac{y}{x} = \frac{2}{5} \) или можем написать \(y = \frac{2}{5}x\).

Также знаем, что \(MA + AK = MK\), потому можем найти длину хорды \(MK\):

\[ MA + AK = 6 + 15 = 21 \, \text{см} \]

Теперь, так как \(AD + CA = MK\), получаем:

\[ x + y = 21 \, \text{см} \]

Подставим \(y = \frac{2}{5}x\) в уравнение:

\[ x + \frac{2}{5}x = 21 \]

Сложим одинаковые части:

\[ \frac{5}{5}x + \frac{2}{5}x = \frac{7}{5}x = 21 \]

Теперь, умножим обе стороны на \( \frac{5}{7} \):

\[ x = 21 \cdot \frac{5}{7} = 15 \, \text{см} \]

Теперь, подставим \(x\) в выражение для \(y\):

\[ y = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 \, \text{см} \]

Таким образом, получаем:

• \(AD = 15 \, \text{см}\)
• \(CA = 6 \, \text{см}\)

Ответ: \(AD = 15 \, \text{см}, \, CA = 6 \, \text{см}.\)