найти промежуток возрастания и убывания функции у=1/3х^3+5/2x^2+6
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 6 \), необходимо выполнить несколько шагов.
Найдем первую производную функции. Первая производная показывает, как изменяется функция, и позволит определить, где функция возрастает, а где убывает.
\( y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 6\right) \)
Применим правила дифференцирования:
\( y' = x^2 + 5x \)
Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\( x^2 + 5x = 0 \)
Выносим \( x \) за скобки:
\( x(x + 5) = 0 \)
Таким образом, критические точки:
\( x = 0 \) и \( x = -5 \)
Определим знаки производной на интервалах, которые образуют эти критические точки: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 0) \), \( (0, +\infty) \).
Для интервала \( (-\infty, -5) \), возьмем, например, \( x = -6 \): \( y'(-6) = (-6)^2 + 5(-6) = 36 - 30 = 6 \) (знак положительный, значит функция возрастает).
Для интервала \( (-5, 0) \), возьмем, например, \( x = -1 \): \( y'(-1) = (-1)^2 + 5(-1) = 1 - 5 = -4 \) (знак отрицательный, значит функция убывает).
Для интервала \( (0, +\infty) \), возьмем, например, \( x = 1 \): \( y'(1) = (1)^2 + 5(1) = 1 + 5 = 6 \) (знак положительный, значит функция возрастает).
Сделаем выводы о промежутках возрастания и убывания функции:
- Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (0, +\infty) \).
- Функция убывает на интервале \( (-5, 0) \).
Теперь у вас есть четкое понимание промежутков возрастания и убывания данной функции! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
