найти косинус угла между прямыми l1 и l2. l1: 8x+3y-6=0, l2: x-5y-3=0

Чтобы найти косинус угла между двумя прямыми, необходимо сначала узнать их наклоны, которые можно получить из их уравнений.

Уравнение прямой \( l_1: 8x + 3y - 6 = 0 \) можно записать в виде \( y = mx + b \), где \( m \) — это угол наклона. Перепишем уравнение:

\[ 3y = -8x + 6 \] \[ y = -\frac{8}{3}x + 2 \]

Таким образом, наклон \( m_1 = -\frac{8}{3} \).

Для прямой \( l_2: x - 5y - 3 = 0 \):

\[ -5y = -x + 3 \] \[ y = \frac{1}{5}x - \frac{3}{5} \]

Здесь наклон \( m_2 = \frac{1}{5} \).

Теперь можем использовать формулу для нахождения косинуса угла \( \theta \) между двумя прямыми:

\[ \cos(\theta) = \frac{1 + m_1 m_2}{\sqrt{(1 + m_1^2)(1 + m_2^2)}} \]

Подставим значения \( m_1 \) и \( m_2 \):

1. \( m_1 m_2 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{8}{15} \)
2. \( 1 + m_1 m_2 = 1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \)
3. \( m_1^2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9} \)
4. \( m_2^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} \)
5. \( 1 + m_1^2 = 1 + \frac{64}{9} = \frac{9}{9} + \frac{64}{9} = \frac{73}{9} \)
6. \( 1 + m_2^2 = 1 + \frac{1}{25} = \frac{25}{25} + \frac{1}{25} = \frac{26}{25} \)

Теперь подставим это в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{7}{15}}{\sqrt{\left(\frac{73}{9}\right)\left(\frac{26}{25}\right)}} \]

Найдём \(\sqrt{\left(\frac{73}{9}\right)\left(\frac{26}{25}\right)}\):

\[ \sqrt{\left(\frac{73 \cdot 26}{9 \cdot 25}\right)} = \sqrt{\frac{1898}{225}} = \frac{\sqrt{1898}}{15} \]

Таким образом,

\[ \cos(\theta) = \frac{7}{\sqrt{1898}} \]

Теперь можно произвести вычисление:

\[ \sqrt{1898} \approx 43.56 \quad \Rightarrow \quad \cos(\theta) \approx \frac{7}{43.56} \approx 0.160 \]

Итак, косинус угла между прямыми \( l_1 \) и \( l_2 \) равен примерно 0.160.