Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c. a=(-6; 3; 4), b=(-6;-4; 3), c=(7;-8;-4)
Чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), необходимо вычислить модуль скалярного произведения вектора \( \mathbf{a} \) с векторным произведением векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \).
Формула для объема \( V \) параллелепипеда:
\[ V = | \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) | \]
Где \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \) — это векторное произведение векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), а \( \mathbf{a} \cdot \) — скалярное произведение.
- Сначала найдем векторное произведение \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \):
\[ \mathbf{b} = (-6; -4; 3), \quad \mathbf{c} = (7; -8; -4) \]
Векторное произведение вычисляется по формуле:
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & -4 & 3 \\ 7 & -8 & -4 \end{vmatrix} \]
Раскроем определитель:
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -4 & 3 \\ -8 & -4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -6 & 3 \\ 7 & -4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -6 & -4 \\ 7 & -8 \end{vmatrix} \]
Вычислим каждый из определителей:
\[ \begin{vmatrix} -4 & 3 \\ -8 & -4 \end{vmatrix} = (-4)(-4) - (3)(-8) = 16 + 24 = 40 \]
\[ \begin{vmatrix} -6 & 3 \\ 7 & -4 \end{vmatrix} = (-6)(-4) - (3)(7) = 24 - 21 = 3 \]
\[ \begin{vmatrix} -6 & -4 \\ 7 & -8 \end{vmatrix} = (-6)(-8) - (-4)(7) = 48 + 28 = 76 \]
Теперь подставим значения в векторное произведение:
\[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i}(40) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(76) = (40; -3; 76) \]
- Теперь приступим к вычислению скалярного произведения \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \):
\[ \mathbf{a} = (-6; 3; 4), \quad \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (40; -3; 76) \]
Скалярное произведение вычисляется как:
\[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (-6)(40) + (3)(-3) + (4)(76) \]
Вычислим:
\[ = -240 - 9 + 304 = 55 \]
- Теперь находим объем:
\[ V = |55| = 55 \]
Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), равен \( 55 \) кубическим единицам.
