Решите уравнение. (x-7) ² -33=-(x-2) (x+2). В ответ запишите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Давайте решим уравнение шаг за шагом:
Дано уравнение: \[ (x - 7)^2 - 33 = -(x - 2)(x + 2) \]
Сначала упростим обе стороны уравнения. Начнём с правой стороны:
\[ -(x - 2)(x + 2) = -(x^2 - 4) = -x^2 + 4 \]
Теперь упростим левую сторону: \[ (x - 7)^2 - 33 = (x^2 - 14x + 49) - 33 = x^2 - 14x + 16 \]
Подставим упрощенные выражения в уравнение: \[ x^2 - 14x + 16 = -x^2 + 4 \]
Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ x^2 + x^2 - 14x + 16 - 4 = 0 \]
Это упрощается до: \[ 2x^2 - 14x + 12 = 0 \]
Теперь разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его: \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]
Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \]
Вычислим корни:
Первый корень: \[ x_1 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
Второй корень: \[ x_2 = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь мы нашли два корня: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = 1 \). Поскольку в задании просят записать меньший из корней, правильный ответ:
\[ \boxed{1} \]
