построение и исследование квадратичной функции y=x²-6x
Для построения и исследования квадратичной функции \( y = x^2 - 6x \) начнем с анализа её основных характеристик.
- Определение формы функции:
Данная функция представлена в стандартной квадратной форме \( y = ax^2 + bx + c \), где:
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = 0 \)
Поскольку коэффициент \( a \) положителен, парабола будет открыта вверх.
Нахождение вершины параболы: Вершина параболы определяется по формуле координат: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения: \[ x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] Далее, подставим \( x_v \) обратно в функцию для нахождения \( y_v \): \[ y_v = (3)^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, -9) \).
Нахождение корней функции: Найдем корни уравнения \( x^2 - 6x = 0 \): \[ x(x - 6) = 0 \] Это дает корни: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 6 \]
Исследование поведения функции:
- Область значений: Так как парабола открыта вверх и её вершина имеет координату \( y_v = -9 \), область значений функции будет \( y \geq -9 \).
- Нахождение осей симметрии: Это прямая, проходящая через вершину, то есть \( x = 3 \).
- Интервалы возрастания и убывания:
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, 3) \)
- Функция возрастает на интервале \( (3, +\infty) \)
Построение графика: Для построения графика отметим:
- Точки пересечения с осью \( x \): \( (0, 0) \) и \( (6, 0) \)
- Вершину \( (3, -9) \)
- Кроме того, можно выделить несколько дополнительных точек, например, \( x = 1 \) и \( x = 5 \):
- При \( x = 1: y = 1 - 6 = -5 \)
- При \( x = 5: y = 25 - 30 = -5 \)
Зная эти характеристики, можно построить график функции. Функция будет выглядеть как "U"-образная кривая, открытая вверх, с вершиной в точке \( (3, -9) \) и пересечениями с осью \( x \) в точках \( (0, 0) \) и \( (6, 0) \).
Если возникнут дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
