x²-9≥0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 9 \geq 0\), давайте сначала преобразуем его. Мы можем переписать выражение следующим образом:

\[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \geq 0.\]

Теперь у нас есть произведение двух множителей: \((x - 3)\) и \((x + 3)\).

Определим нули данного произведения:

1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\),
2. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\).

Теперь мы имеем два критических значения: \(x = -3\) и \(x = 3\). Эти точки разделяют числовую линию на три интервала:

1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, 3) \)
3. \( (3, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения \((x - 3)(x + 3)\) на каждом из интервалов:

1. Для интервала \((-∞, -3)\):

   • Пусть \(x = -4\): \((-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 \geq 0\).

2. Для интервала \((-3, 3)\):

   • Пусть \(x = 0\): \((0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0\).

3. Для интервала \((3, +\infty)\):

   • Пусть \(x = 4\): \((4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 \geq 0\).

Теперь мы можем резюмировать результаты:

• На интервале \((-∞, -3)\) и на интервале \((3, +\infty)\) неравенство \(x^2 - 9 \geq 0\) выполняется.
• На интервале \((-3, 3)\) неравенство не выполняется.

Необходимо также учитывать границы. Вот что у нас получается:

• В точках \(x = -3\) и \(x = 3\) значение неравенства равно нулю, что соответствует условию \(\geq 0\).

Таким образом, полное решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty). \]