3log ⁸(3x +2) < 2

Для решения неравенства \( 3 \log_8(3x + 2) < 2 \), давайте следовать последовательным шагам:

1. Упростите неравенство: Мы можем разделить обе стороны неравенства на 3 (так как 3 положительное число), что не изменит знак неравенства: \[ \log_8(3x + 2) < \frac{2}{3} \]

2. Преобразуем логарифм: Применим свойство логарифмов. Мы знаем, что \( \log_b(a) = c \) можно переписать как \( a = b^c \). В нашем случае: \[ 3x + 2 < 8^{\frac{2}{3}} \] Теперь найдем \( 8^{\frac{2}{3}} \). Поскольку \( 8 = 2^3 \), мы имеем: \[ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \] Таким образом, неравенство примет вид: \[ 3x + 2 < 4 \]

3. Решим неравенство: Выразим \( x \): \[ 3x < 4 - 2 \\ 3x < 2 \\ x < \frac{2}{3} \]

Таким образом, решением неравенства \( 3 \log_8(3x + 2) < 2 \) является: \[ x < \frac{2}{3} \]

Не забывайте, что также важно учитывать область определения логарифма: \( 3x + 2 > 0 \), что даёт условие \( x > -\frac{2}{3} \).

Итак, окончательное решение можно записать как: \[ -\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!