3 log по основанию 8 (3х + 2) < 2

Решим неравенство \(3 \log_8 (3x + 2) < 2\).

1. Перепишем неравенство. Сначала упростим неравенство, разделив обе стороны на 3 (поскольку 3 – положительное число, знак неравенства не изменится): \[ \log_8 (3x + 2) < \frac{2}{3} \]

2. Переведем логарифм в экспоненциальную форму. Логарифм может быть представлен как: \[ 3x + 2 < 8^{\frac{2}{3}} \]

3. Вычислим \(8^{\frac{2}{3}}\). Это можно сделать следующим образом: \[ 8 = 2^3 \quad \Rightarrow \quad 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \]

4. Теперь подставим это значение в неравенство: \[ 3x + 2 < 4 \]

5. Решим это неравенство. Выразим \(x\): \[ 3x < 4 - 2 \] \[ 3x < 2 \] \[ x < \frac{2}{3} \]

6. Итак, решение данного неравенства: \[ x < \frac{2}{3} \]

Не забудьте проверить неравенство на условия при \(3x + 2 > 0\) для логарифма (это необходимо, чтобы логарифм был определён). Поэтому:

\[ 3x + 2 > 0 \Rightarrow 3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3} \]

Таким образом, итоговое решение будет: \[ -\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3} \]

Если у вас есть вопросы по решению, пожалуйста, спрашивайте!