Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса…
Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6 400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 3 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых
Решим задачу по закону сохранения импульса, который в данном случае говорит о том, что импульс системы до отделения и после отделения должен оставаться равным.
Определим вес спускаемого аппарата с космонавтами: \[ m = 2900 \, \text{кг} \]
Рассчитаем скорость, на которую должна уменьшиться скорость аппарата. Уменьшение скорости на 1% от орбитальной скорости \( v_0 \) можно выразить как: \[ v_0 = \sqrt{g R} = \sqrt{8.63 \, \text{м/с}^2 \cdot 6400 \times 10^3 \, \text{м}} \approx 7.91 \, \text{км/с} \] Значит: \[ \Delta v = 0.01 \cdot v_0 = 0.01 \cdot 7910 \, \text{м/с} \approx 79.1 \, \text{м/с} \]
Теперь, применим импульс: изменение импульса (взлётного) равно изменению массы, движущейся с постоянной скоростью: \[ m \cdot \Delta v = \Delta m \cdot v_e \] где:
- \( \Delta m \) - масса сгоревшего топлива,
- \( v_e = 3000 \, \text{м/с} \) - скорость истечения газов.
Подставим известные значения: \[ 2900 \, \text{кг} \cdot (-79.1 \, \text{м/с}) = \Delta m \cdot 3000 \, \text{м/с} \] Преобразуем уравнение: \[ \Delta m = \frac{2900 \cdot 79.1}{3000} \]
Выполним расчёт: \[ \Delta m \approx \frac{229390}{3000} \approx 76.463 \, \text{кг} \]
Округлим до десятых: \[ \Delta m \approx 76.5 \, \text{кг} \]
Таким образом, масса сгоревшего топлива должна составлять примерно 76.5 кг.
