Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с2. Радиус Земли равен 6 400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 3 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса и формулой Циолковского, которая связывает изменение массы ракеты и скорость истечения газов.

Дано:

• Масса аппарата \( m_0 = 2900 \) кг
• Снижение скорости на \( \Delta v = 0.01 \times v \), где \( v \) — текущая скорость на высоте МКС.
• Ускорение свободного падения на орбите МКС \( g = 8.63 \) м/с².
• Скорость истечения газов \( v_e = 3000 \) м/с.

Сначала определим текущую скорость на орбите МКС. Используем формулу для скорости круговой орбиты:

\[ v = \sqrt{g \cdot r} \]

где \( r \) — радиус орбиты (радиус Земли \( R = 6400 \) км + высота МКС \( h = 400 \) км):

\[ r = 6400 \text{ км} + 0.4 \text{ км} = 6400.4 \text{ км} = 6400400 \text{ м} \]

Теперь подставим значение \( r \) в формулу:

\[ v = \sqrt{8.63 \cdot 6400400} \approx \sqrt{55233652} \approx 7422.2 \text{ м/с} \]

Теперь найдем, на сколько нужно уменьшить скорость:

\[ \Delta v = 0.01 \times 7422.2 \approx 74.22 \text{ м/с} \]

Теперь используем уравнение Циолковского:

\[ \Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m_0 - m_f}\right) \]

где \( m_f \) — масса сгоревшего топлива, \( m_0 - m_f \) — конечная масса. Подставим известные значения:

\[ 74.22 = 3000 \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_f}\right) \]

Разделим обе стороны на 3000:

\[ \frac{74.22}{3000} = \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_f}\right) \]

Теперь найдем значение:

\[ \ln\left(\frac{2900}{2900 - m_f}\right) \approx 0.02474 \]

Теперь применим обратное значение функции ln:

\[ \frac{2900}{2900 - m_f} = e^{0.02474} \approx 1.025 \]

Перемножим обе стороны на \( (2900 - m_f) \):

\[ 2900 = 1.025 \cdot (2900 - m_f) \]

Раскроем скобки:

\[ 2900 = 2972.5 - 1.025 m_f \]

Теперь выразим \( m_f \):

\[ 1.025 m_f = 2972.5 - 2900 \] \[ 1.025 m_f = 72.5 \] \[ m_f \approx \frac{72.5}{1.025} \approx 70.8 \text{ кг} \]

Таким образом, масса сгоревшего топлива составляет примерно 70.8 кг.