f(x)=2x²-x
Давайте разберем функцию \( f(x) = 2x^2 - x \).
Определение функции: Это квадратная функция, поскольку её высший член (наибольшая степень \( x \)) равен 2. Она имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = -1 \) и \( c = 0 \).
График функции: График этой функции будет параболой, открытой вверх, так как коэффициент \( a \) положительный.
Вершина параболы: Вершина параболы для функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). Подставляем значения: \[ x = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \] Теперь можем найти значение функции в этой точке: \[ f\left(\frac{1}{4}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8} \] Таким образом, вершина параболы расположена в точке \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right) \).
Корни функции: Для нахождения корней уравнения \( f(x) = 0 \), решаем: \[ 2x^2 - x = 0 \] Выносим \( x \) за скобки: \[ x(2x - 1) = 0 \] Корни будут \( x = 0 \) и \( 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \).
Интервалы возрастания и убывания: Чтобы найти, на каких интервалах функция возрастает или убывает, мы можем проанализировать производную \( f'(x) = 4x - 1 \). Находим ноль производной: \[ 4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \]
- Для \( x < \frac{1}{4} \) функция убывает.
- Для \( x > \frac{1}{4} \) функция возрастает.
В итоге, функция \( f(x) = 2x^2 - x \):
- Вершина: \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right) \)
- Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{2} \)
- Убывает на интервале \( (-\infty, \frac{1}{4}) \) и возрастает на \( \left(\frac{1}{4}, +\infty\right) \).
Если есть еще вопросы или нужно прояснить какие-то моменты, дайте знать!
