В сосуд с водой опустили пустую цилиндрическую пробирку, которая устойчиво плавает в вертикальном положении. В пробирку наливают воду так, что уровень воды в пробирке достигает…
В сосуд с водой опустили пустую цилиндрическую пробирку, которая устойчиво плавает в вертикальном положении. В пробирку наливают воду так, что уровень воды в пробирке достигает высоты H_{1} от дна пробирки. Пробирка продолжила плавать, при этом дно пробирки опустилось глубже на высоту H_{2} Найти толщину стенки пробирки. Наружный радиус пробирки R.
Для решения этой задачи воспользуемся принципом Архимеда и уравновешивающими силами.
Обозначим переменные:
- \( R \) — внешний радиус пробирки.
- \( h \) — высота пробирки.
- \( t \) — толщина стенки пробирки.
- \( r = R - t \) — внутренний радиус пробирки.
- \( H_{1} \) — уровень воды внутри пробирки.
- \( H_{2} \) — глубина, на которую пробирка погрузилась.
Определим объемы:
- Объем воды, налитой в пробирку: \[ V_{в} = \pi r^{2} H_{1} = \pi (R - t)^{2} H_{1} \]
- Объем вытесняемой воды, когда пробирка находится на глубине \( H_{2} \): \[ V_{выт} = \pi R^{2} H_{2} \]
Согласно принципу Архимеда: Для плавающего тела объем вытесняемой воды равен объему воды, находящейся внутри пробирки. Поэтому, согласно условиям задачи, мы можем записать следующее уравнение: \[ V_{в} = V_{выт} \] Подставим выражения для объемов: \[ \pi (R - t)^{2} H_{1} = \pi R^{2} H_{2} \]
Сократим \(\pi\): \[ (R - t)^{2} H_{1} = R^{2} H_{2} \]
Раскроем левую часть и упорядочим уравнение: \[ (R^2 - 2Rt + t^2) H_{1} = R^{2} H_{2} \] \[ R^{2} H_{1} - 2Rt H_{1} + t^2 H_{1} = R^{2} H_{2} \] \[ -2Rt H_{1} + t^2 H_{1} = R^{2} (H_{2} - H_{1}) \]
Если \(t \neq 0\), то мы можем перемещать все слагаемые в одну сторону: Перепишем уравнение так: \[ t^2 H_{1} - 2Rt H_{1} - R^{2} (H_{1} - H_{2}) = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \( t\): Коэффициенты квадратного уравнения:
- \( a = H_{1} \)
- \( b = -2R H_{1} \)
- \( c = -R^{2} (H_{1} - H_{2}) \)
Решение квадратного уравнения находим по формуле: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим значения: \[ t = \frac{2R H_{1} \pm \sqrt{(2R H_{1})^2 - 4H_{1} \cdot (-R^{2}(H_{1} - H_{2}))}}{2H_{1}} \]
Теперь у вас есть уравнение, которое вы можете использовать для нахождения толщины стенки пробирки \( t \) в зависимости от величин \( R, H_{1} \) и \( H_{2} \).
