Один из искусственных спутников находится на некотором расстоянии от центра Луны. Определите это расстояние, если он притягивается к Луне с силой, вчетверо меньшей, чем к Земле.…

Для решения этой задачи используем закон всемирного тяготения, который выражается формулой:

\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]

где \( F \) — сила притяжения, \( G \) — гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тел, \( r \) — расстояние между центрами масс.

1. Обозначим массу Земли как \( M \) и массу Луны как \( M_L = \frac{M}{81} \).

2. Пусть спутник находится на расстоянии \( d \) от центра Луны и на расстоянии \( R \) от центра Земли. Из условия задачи известно, что сила притяжения к Луне \( F_L \) вчетверо меньше, чем сила притяжения к Земле \( F_E \):

\[ F_L = \frac{F_E}{4} \]

3. Используем закон всемирного тяготения для обоих тел. Для Земли:

\[ F_E = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \]

и для Луны:

\[ F_L = \frac{G \cdot M_L \cdot m}{d^2} = \frac{G \cdot \frac{M}{81} \cdot m}{d^2} \]

4. Теперь подставим эти выражения в равенство:

\[ \frac{G \cdot \frac{M}{81} \cdot m}{d^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \]

Упрощаем:

\[ \frac{1}{81d^2} = \frac{1}{4R^2} \]

5. Теперь умножим обе стороны на \( 81 \cdot 4R^2 \):

\[ 4R^2 = 81d^2 \]

6. Решим относительно \( d \):

\[ d^2 = \frac{4R^2}{81} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{2R}{9} \]

7. Теперь подставим радиус Земли:

\( R = 6400 \, \text{км} = 6400 \times 10^3 \, \text{м} \).

Итак, получается:

\[ d = \frac{2 \times 6400 \times 10^3}{9} = \frac{12800 \times 10^3}{9} \approx 1422.22 \times 10^3 \, \text{м} \]

Теперь переведем в километры:

\[ d \approx 1422.22 \, \text{км} = 1.42222 \times 10^3 \, \text{км} \]

Таким образом, расстояние от центра Луны до спутника составляет примерно \( 1.422 \times 10^3 \, \text{км} \).