Верно ли, что учитель гимназии дал прозвище Чехову "Антоша Чехонте", которое стало псевдонимом молодого писателя?

Да, это верно. Учитель гимназии Николай Жуковский называл Антона Чехова "Антоша Чехонте" в шутку, и это прозвище позже стало псевдонимом, который молодой Чехов использовал при публикации своих рассказов в различных журналах.