все
Привет! Давай попробуем решить интегралы вместе.
Задача 1004:
- \(\int_0^2 x^2 \, dx\)
Для решения этой задачи используем правило возведения в степень:
- Интеграл от \(x^n\) равен \((x^{n+1})/(n+1) + C\).
Применяем это правило:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Теперь подставляем пределы от 0 до 2:
\[ \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \]
- \(\int_0^{\pi} x^3 \, dx\)
Здесь также используем правило возведения в степень:
\[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C \]
Подставляем пределы:
\[ \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{\pi^4}{4} \]
- \(\int_0^{\pi} \cos x \, dx\)
Интеграл от \(\cos x\) равен \(\sin x\).
Подставляем пределы:
\[ \left[\sin x\right]_0^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0 \]
Задача 1006:
- \(\int_3^6 (2x-8) \, dx\)
Раскрываем скобки и интегрируем поэлементно:
\[ \int (2x - 8) \, dx = \int 2x \, dx - \int 8 \, dx \]
Первый интеграл:
\[ \int 2x \, dx = x^2 + C \]
Второй интеграл:
\[ \int 8 \, dx = 8x + C \]
Общая функция:
\[ x^2 - 8x + C \]
Подставляем пределы:
\[ \left[x^2 - 8x\right]_3^6 = (36 - 48) - (9 - 24) = -12 + 15 = 3 \]
- \(\int_0^{\pi} \sin 2x \, dx\)
Здесь полезна формула для интеграла \(\sin kx\):
\[ \int \sin kx \, dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C \]
При \(k = 2\):
\[ -\frac{1}{2} \cos 2x \]
Подставляем пределы:
\[ \left[-\frac{1}{2} \cos 2x\right]_0^{\pi} = \left[-\frac{1}{2} (\cos 2\pi - \cos 0)\right] = 0 \]
- \(\int_0^1 (1 - 8x^3) \, dx\)
Раскрываем скобки и интегрируем по отдельности:
\[ \int (1 - 8x^3) \, dx = \int 1 \, dx - \int 8x^3 \, dx \]
Первый интеграл:
\[ \int 1 \, dx = x + C \]
Второй интеграл:
\[ \int 8x^3 \, dx = 2x^4 + C \]
Общая функция:
\[ x - 2x^4 + C \]
Подставляем пределы:
\[ \left[x - 2x^4\right]_0^1 = (1 - 2) - (0 - 0) = -1 \]
Вот и всё! Если остались вопросы, не стесняйся спрашивать!
