Деревянный шарик массой 50 г падает на пол перпендикулярно его поверхности, имея перед ударом скорость 3,5 м/с, и отскакивает вертикально вверх со скоростью 2 м/с. Определите модуль вектора изменения импульса шарика и величину силы, действующей во время удара, если длительность самого удара была равной 2 мс. Задание 2 (20 баллов). Пружину растягивают на 4 см, а потом ещё на 2 см. Найдите отношение потенциальной энергии пружины после первого и второго растяжения, а также отношение работы в первом и втором случаях. E1/E2=? A1/A2= ? Задание 3 (30 баллов). Шайба соскальзывает с наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, а затем скользит по горизонтальной поверхности, причём коэффициент трения на всём пути шайбы не изменяется. По горизонтали шайба перемещается на расстояние, вдвое меньшее длины наклонной плоскости. Чему равен коэффициент трения? Задание 4 (30 баллов). Две игрушечные тележки массами 180 г и 90 г движутся навстречу друг другу со скоростями 0,1 м/с и 0,15 м/с соответственно и после столкновения сцепляются. Определите скорость тележек сразу после их сцепки. Какое количество исходной кинетической энергии системы перешло во внутреннюю после их столкновения?

Задание 1

Определим модуль изменения импульса шарика.

Импульс \( p \) равен массе умноженной на скорость:

\[ p = mv \]

Перед ударом:

• Масса \( m = 50 \, \text{г} = 0.05 \, \text{кг} \)
• Скорость \( v_1 = 3.5 \, \text{м/c} \) (вниз)

\[ p_1 = m v_1 = 0.05 \times 3.5 = 0.175 \, \text{кг·м/c} \quad \text{(вниз)} \]

После удара:

• Скорость \( v_2 = 2 \, \text{м/c} \) (вверх)

\[ p_2 = m v_2 = 0.05 \times 2 = 0.1 \, \text{кг·м/c} \quad \text{(вверх)} \]

Теперь, чтобы найти изменение импульса \( \Delta p \):

\[ \Delta p = p_2 - p_1 = 0.1 - (-0.175) = 0.1 + 0.175 = 0.275 \, \text{кг·м/c} \]

Теперь найдем величину силы, действующей во время удара.

Сила связана с изменением импульса следующим образом:

\[ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} \]

где \( \Delta t = 2 \, \text{мс} = 0.002 \, \text{с} \).

\[ F = \frac{0.275}{0.002} = 137.5 \, \text{Н} \]

Ответ:

• Модуль изменения импульса: \( 0.275 \, \text{кг·м/c} \)
• Величина силы: \( 137.5 \, \text{Н} \)

---

Задание 2

Найдём потенциальную энергию пружины и отношение энергий.

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

\[ E = \frac{1}{2} k x^2 \]

где \( k \) – жёсткость пружины, а \( x \) – удлинение.

1. Удлинение на первом этапе: \( x_1 = 0.04 \, \text{м} \)

\[ E_1 = \frac{1}{2} k (0.04)^2 = \frac{1}{2} k (0.0016) = 0.0008 k \]

2. Удлинение на втором этапе: \( x_2 = 0.06 \, \text{м} \)

\[ E_2 = \frac{1}{2} k (0.06)^2 = \frac{1}{2} k (0.0036) = 0.0018 k \]

Находим отношение энергий:

\[ \frac{E_1}{E_2} = \frac{0.0008 k}{0.0018 k} = \frac{0.0008}{0.0018} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \approx 0.444 \]

Теперь найдем работу:

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна разности потенциальных энергий.

\[ A_1 = E_1 \quad (от 0 до 0.04) \]

\[ A_2 = E_2 - E_1 = 0.0018 k - 0.0008 k = 0.001 k \]

Отношение работ:

\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{0.0008 k}{0.001 k} = \frac{0.0008}{0.001} = 0.8 \]

Ответ:

• \( \frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{9} \)
• \( \frac{A_1}{A_2} = 0.8 \)

---

Задание 3

Обозначим длину наклонной плоскости \( L \) и расстояние, на которое шайба скользит по горизонтали \( S \). Дано, что \( S = \frac{L}{2} \).

Сначала найдем ускорение на наклонной плоскости.

Сила тяжести вдоль наклонной плоскости:

\[ F_{\text{тяж}} = mg \sin(\alpha) \]

Сила трения:

\[ F_{\text{тр}} = \mu mg \cos(\alpha) \]

где \( m \) – масса шайбы, \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) – ускорение свободного падения, \( \alpha = 30^\circ \).

Ускорение \( a \) можно выразить через второй закон Ньютона:

\[ ma = mg \sin(30^\circ) - \mu mg \cos(30^\circ) \]

Сократим \( m \):

\[ a = g \sin(30^\circ) - \mu g \cos(30^\circ) \]

Зная, что \( \sin(30^\circ) = 0.5 \) и \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:

\[ a = g(0.5 - \mu \frac{\sqrt{3}}{2}) \]

По времени \( t \) движения по наклонной плоскости можно выразить:

\[ t = \sqrt{\frac{2L \sin(\alpha)}{a}} = \sqrt{\frac{2L \cdot 0.5}{g(0.5 - \mu \frac{\sqrt{3}}{2})}} = \sqrt{\frac{L}{g(0.5 - \mu \frac{\sqrt{3}}{2})}} \]

Для движения по горизонтали можно выразить:

\[ t = \frac{S}{v} = \frac{L/2}{v} \]

где \( v \) – скорость шайбы в момент выхода с наклонной плоскости:

По закону сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = mgh \]

где \( h = L \sin(\alpha) = L \cdot 0.5 \).

Тогда:

\[ v^2 = gh \quad (h = 0.5L) \Rightarrow v = \sqrt{g \cdot 0.5L} = \sqrt{\frac{gL}{2}} \]

Подставляя:

\[ t = \frac{L/2}{\sqrt{\frac{gL}{2}}} = \frac{L}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{gL}} = \frac{\sqrt{2L}}{2\sqrt{g}} = \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{2g}} \]

Сравнивая времена:

\[ \frac{L}{g(0.5 - \mu \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{2g}} \]

Решая уравнение для коэффициента трения \( \mu \):

Выражаем \( \mu \):

\[ 0.5 - \mu \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{g\sqrt{L}}{L\sqrt{2g}} = \frac{\sqrt{gL}}{2L} \Rightarrow 0.5 - \frac{\sqrt{g}}{2\sqrt{L}} = \mu \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упрощая:

\[ \mu = \frac{(0.5 - \frac{\sqrt{g}}{2\sqrt{L}}) \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{L}}}{\sqrt{3}} \]

Таким образом:

Используя массу шайбы, определите коэффициент трения.

Ответ:

Коэффициент трения – выражается через маску шайбы \( \mu \).

---

Задание 4

Определим скорость тележек сразу после их сцепки.

По закону сохранения импульса:

\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f \]

где:

• \( m_1 = 0.18 \, \text{кг} \)
• \( m_2 = 0.09 \, \text{кг} \)
• \( v_1 = 0.1 \, \text{м/c} \)
• \( v_2 = -0.15 \, \text{м/c} \) (в направлении \( -x \))

Подставим в уравнение:

\[ 0.18 \cdot 0.1 + 0.09 \cdot (-0.15) = (0.18 + 0.09)v_f \]

Вычислим:

\[ 0.018 - 0.0135 = 0.27 v_f \]

\[ 0.0045 = 0.27 v_f \]

\[ v_f = \frac{0.0045}{0.27} \approx 0.01667 \, \text{м/c} \]

Теперь найдём количество исходной кинетической энергии, преобразованной во внутреннюю энергию.

Кинетическая энергия до столкновения:

\[ KE_{\text{до}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot 0.18 \cdot (0.1)^2 + \frac{1}{2} \cdot 0.09 \cdot (0.15)^2 \]

\[ = 0.0009 + 0.0010125 = 0.0019125 \, \text{Дж} \]

Кинетическая энергия после столкновения:

\[ KE_{\text{после}} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_f^2 = \frac{1}{2}(0.18 + 0.09)(0.01667)^2 \]

\[ = \frac{1}{2}(0.27)(0.00027889) \approx 0.0000375 \, \text{Дж} \]

Количество преобразованной энергии:

\[ \Delta KE = KE_{\text{до}} - KE_{\text{после}} = 0.0019125 - 0.0000375 = 0.001875 \, \text{Дж} \]

Ответ:

• Скорость тележек сразу после их сцепки: \( v_f \approx 0.01667 \, \text{м/c} \)
• Количество исходной кинетической энергии, перешедшей во внутреннюю: \( \Delta KE \approx 0.001875 \, \text{Дж} \)