найди мне производную от функции (2х)/1-х^2

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{2x}{1 - x^2} \), мы воспользуемся правилом деления функций. Если \( u(x) = 2x \) и \( v(x) = 1 - x^2 \), то производная \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) вычисляется по формуле:

\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Сначала найдем производные \( u' \) и \( v' \):

1. \( u(x) = 2x \) → \( u' = 2 \)
2. \( v(x) = 1 - x^2 \) → \( v' = -2x \)

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

\[ f'(x) = \frac{(2)(1 - x^2) - (2x)(-2x)}{(1 - x^2)^2} \]

Упростим числитель:

\[ = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \]

\[ = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \]

\[ = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \]

Итак, производная функции \( f(x) = \frac{2x}{1 - x^2} \) равна:

\[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \]