Решить неравенство sin(3x - pi/4) <= - 1/2

Решим неравенство \( \sin(3x - \frac{\pi}{4}) \leq -\frac{1}{2} \).

Для начала, вспомним, при каких значениях аргумента синус принимает значение \(-\frac{1}{2}\). Это происходит в следующих случаях:

1. \( \sin\theta = -\frac{1}{2} \) для \( \theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \) и \( \theta = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \), где \( k \) - любое целое число.

Теперь преобразуем неравенство:

\[ 3x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] \[ 3x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

Решим первое неравенство:

1. \( 3x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \)

Добавим \( \frac{\pi}{4} \) к обеим частям:

\[ 3x \leq \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Приводим \( \frac{7\pi}{6} \) и \( \frac{\pi}{4} \) к общему знаменателю (24):

\[ \frac{7\pi}{6} = \frac{28\pi}{24}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{24} \]

Теперь подставим:

\[ 3x \leq \frac{28\pi}{24} + \frac{6\pi}{24} + 2k\pi = \frac{34\pi}{24} + 2k\pi = \frac{17\pi}{12} + 2k\pi \]

Теперь делим на 3:

\[ x \leq \frac{17\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

Решим второе неравенство:

2. \( 3x - \frac{\pi}{4} \geq \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \)

Аналогично добавляем \( \frac{\pi}{4} \):

\[ 3x \geq \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Снова приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{11\pi}{6} = \frac{44\pi}{24}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{24} \]

Теперь подставим:

\[ 3x \geq \frac{44\pi}{24} + \frac{6\pi}{24} + 2k\pi = \frac{50\pi}{24} + 2k\pi = \frac{25\pi}{12} + 2k\pi \]

Делим на 3:

\[ x \geq \frac{25\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

Теперь подведем итоги. Решение неравенства \( \sin(3x - \frac{\pi}{4}) \leq -\frac{1}{2} \) сводится к:

\[ \frac{25\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \leq x \leq \frac{17\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \]

где \( k \) - любое целое число.

Если необходимо дополнительное пояснение, не стесняйтесь задавать вопросы!