В прямоугольном треугольнике a и b - катеты, c - гипотенуза. Найдите a , если c = 24 5 и b = √ 1679 10 .
В прямоугольном треугольнике для вычисления длины одного из катетов можно воспользоваться теоремой Пифагора. Эта теорема утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ c^2 = a^2 + b^2. \]
В вашем случае известно:
- \( c = \frac{24}{5} \),
- \( b = \frac{\sqrt{1679}}{10} \).
Сначала найдем \( c^2 \):
\[ c^2 = \left(\frac{24}{5}\right)^2 = \frac{576}{25}. \]
Теперь найдем \( b^2 \):
\[ b^2 = \left(\frac{\sqrt{1679}}{10}\right)^2 = \frac{1679}{100}. \]
Теперь подставим эти значения в уравнение Пифагора:
\[ \frac{576}{25} = a^2 + \frac{1679}{100}. \]
Чтобы удобно решить это уравнение, переведем все дроби к одному знаменателю. Легко заметить, что 100 является наименьшим общим кратным 25 и 100. Умножим всю часть уравнения на 100, чтобы избавиться от дробей:
\[ 100 \cdot \frac{576}{25} = 100a^2 + 1679. \]
Теперь упрощаем:
\[ 2304 = 4a^2 + 1679. \]
Вычтем \( 1679 \) из обеих сторон:
\[ 2304 - 1679 = 4a^2, \]
что дает:
\[ 625 = 4a^2. \]
Теперь разделим обе стороны на 4:
\[ a^2 = \frac{625}{4}. \]
Теперь найдем \( a \):
\[ a = \sqrt{\frac{625}{4}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{4}} = \frac{25}{2}. \]
Таким образом, длина катета \( a \) равна \( \frac{25}{2} \) или 12.5.
