решите уравнение: abx²+(a²-b²)x+(a-b)²=0
Решим уравнение \( abx^2 + (a^2 - b^2)x + (a - b)^2 = 0 \) с использованием формулы квadratного уравнения.
Общая форма квадратного уравнения — это \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где:
- \( A = ab \)
- \( B = a^2 - b^2 \)
- \( C = (a - b)^2 \)
Теперь применим формулу дискриминанта \( D = B^2 - 4AC \):
Подставим значения \( A \), \( B \) и \( C \): \[ D = (a^2 - b^2)^2 - 4(ab)(a - b)^2 \]
Упростим выражение. Заметив, что \( (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b) \), можем переписать дискриминант: \[ D = [(a - b)(a + b)]^2 - 4ab(a - b)^2 \]
Вынесем \( (a - b)^2 \) как общий множитель из обоих членов: \[ D = (a - b)^2 \left( (a + b)^2 - 4ab \right) \] Здесь \( (a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2 \).
Таким образом, дискриминант: \[ D = (a - b)^2 (a - b)^2 = (a - b)^4 \]
Так как дискриминант \( D = (a - b)^4 \) всегда неотрицателен, мы можем найти корни уравнения.
Теперь применяем формулу корней: \[ x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \] Подставляем \( B \) и \( D \): \[ x = \frac{-(a^2 - b^2) \pm (a - b)^2}{2ab} \]
Теперь можем рассмотреть два случая:
- При положительном знаке: \[ x_1 = \frac{-(a^2 - b^2) + (a - b)^2}{2ab} \]
- При отрицательном знаке: \[ x_2 = \frac{-(a^2 - b^2) - (a - b)^2}{2ab} \]
Мы пришли к окончательным корням уравнения: \[ x_1 = \frac{-a^2 + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{2ab} = \frac{2b^2 - 2ab}{2ab} = \frac{b(b - a)}{ab} \] \[ x_2 = \frac{-a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{2ab} = \frac{2ab - 2a^2}{2ab} = 1 - \frac{a}{b} \]
Таким образом, мы получили два корня: \[ x_1 = \frac{b - a}{a} \quad \text{и} \quad x_2 = 1 - \frac{a}{b} \]
Эти уравнения соответствуют значениям \( x \) для данного квадратного уравнения. Надеюсь, это поможет вам в понимании процесса решения!
