Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
Для решения задачи о правильной треугольной призме, давайте сначала разберемся с ее характеристиками.
Найдём высоту боковой грани. Правильная треугольная призма имеет основания в форме правильного треугольника. Сторона основания равна 6 см. Высота правильного треугольника \(h\) может быть найдена по формуле:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] где \(a\) — длина стороны треугольника. Подставив \(a = 6\):
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \, \text{см} \]
Найдём высоту призмы. Диагональ боковой грани равна 10 см. Боковая грань представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы \(H\), а другая сторона — длине стороны основания, то есть 6 см.
Используя теорему Пифагора, можно рассчитать высоту призмы:
\[ d^2 = H^2 + a^2 \] Подставим известные значения \(d = 10\) см и \(a = 6\) см:
\[ 10^2 = H^2 + 6^2 \] \[ 100 = H^2 + 36 \] \[ H^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ H = 8 \, \text{см} \]
Найдём площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы \(S_{б}\) складывается из трех прямоугольников с высотой \(H\) и шириной равной стороне основания:
\[ S_{б} = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot 6 \cdot 8 = 144 \, \text{см}^2 \]
Найдём площадь полной поверхности призмы. Площадь полной поверхности \(S_{п}\) складывается из площади боковой поверхности и площади основы:
Площадь основания правильного треугольника \(S_{осн}\) рассчитывается по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \] Подставим \(a = 6\):
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Полная площадь поверхности будет:
\[ S_{п} = S_{б} + 2 \cdot S_{осн} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} \]
Подсчитаем:
\[ S_{п} \approx 144 + 18\sqrt{3} \approx 144 + 31.18 \approx 175.18 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь боковой поверхности призмы составляет 144 см², а полная площадь поверхности — приблизительно 175.18 см².
