Представьте дробь ( 5x-1/(х+4)(х-2) ) в виде суммы дробей со знаменателями (х+4) и (х-2)

Чтобы представить дробь \(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)}\) в виде суммы дробей со знаменателями \(x + 4\) и \(x - 2\), мы можем воспользоваться методом разложения на простые дроби.

Обозначим:

\[ \frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 2} \]

где \(A\) и \(B\) — это некоторые константы, которые нам нужно найти.

Для того чтобы избавиться от дробей, перемножим обе стороны на \((x + 4)(x - 2)\):

\[ 5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 4) \]

Теперь раскроем скобки справа:

\[ 5x - 1 = Ax - 2A + Bx + 4B \]

Соберем подобные слагаемые:

\[ 5x - 1 = (A + B)x + (-2A + 4B) \]

Теперь мы можем приравнять коэффициенты перед \(x\) и свободные члены:

1. \(A + B = 5\) (коэффициенты при \(x\))
2. \(-2A + 4B = -1\) (свободные члены)

Теперь у нас есть система уравнений. Решим её.

Из первого уравнения выразим \(A\):

\[ A = 5 - B \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ -2(5 - B) + 4B = -1 \] \[ -10 + 2B + 4B = -1 \] \[ 6B - 10 = -1 \] \[ 6B = 9 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

Теперь подставим значение \(B\) обратно в первое уравнение, чтобы найти \(A\):

\[ A + \frac{3}{2} = 5 \] \[ A = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \]

Итак, мы нашли значения \(A\) и \(B\):

\[ A = \frac{7}{2}, \quad B = \frac{3}{2} \]

Теперь мы можем записать первоначальную дробь в виде суммы:

\[ \frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{\frac{7}{2}}{x + 4} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 2} \]

Упрощая это выражение, получаем:

\[ \frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{7}{2(x + 4)} + \frac{3}{2(x - 2)} \]

Таким образом, дробь \(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)}\) представлена в искомом виде.