Дано соотношение: а) a²-3ab-4b²=0; б) 21a²-4ab-b²=0; в) (a+2b/a-b) ²-2*(a+2b/a-b)=3; выразите a через b

Давайте разберем каждое из данных уравнений и выразим \( a \) через \( b \).

а) Уравнение: \( a^2 - 3ab - 4b^2 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( a \). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае:

• \( A = 1 \)
• \( B = -3b \)
• \( C = -4b^2 \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ a = \frac{-(-3b) \pm \sqrt{(-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4b^2)}}{2 \cdot 1} \]

Посчитаем:

\[ a = \frac{3b \pm \sqrt{9b^2 + 16b^2}}{2} = \frac{3b \pm \sqrt{25b^2}}{2} \]

\[ a = \frac{3b \pm 5b}{2} \]

Теперь найдем два корня:

1. \( a = \frac{3b + 5b}{2} = \frac{8b}{2} = 4b \)
2. \( a = \frac{3b - 5b}{2} = \frac{-2b}{2} = -b \)

Таким образом, из первого уравнения можно выразить \( a \) как:

\[ a = 4b \quad \text{или} \quad a = -b \]

б) Уравнение: \( 21a^2 - 4ab - b^2 = 0 \)

Это также квадратное уравнение. Здесь мы также будем использовать ту же формулу для корней:

\[ A = 21, \quad B = -4b, \quad C = -b^2 \]

Подставляем в формулу:

\[ a = \frac{-(-4b) \pm \sqrt{(-4b)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-b^2)}}{2 \cdot 21} \]

Посчитаем:

\[ a = \frac{4b \pm \sqrt{16b^2 + 84b^2}}{42} = \frac{4b \pm \sqrt{100b^2}}{42} \]

\[ a = \frac{4b \pm 10b}{42} \]

Теперь найдем два корня:

1. \( a = \frac{4b + 10b}{42} = \frac{14b}{42} = \frac{b}{3} \)
2. \( a = \frac{4b - 10b}{42} = \frac{-6b}{42} = -\frac{b}{7} \)

Таким образом, из второго уравнения можно выразить \( a \) как:

\[ a = \frac{b}{3} \quad \text{или} \quad a = -\frac{b}{7} \]

в) Уравнение: \( \left(\frac{a+2b}{a-b}\right)^2 - 2\left(\frac{a+2b}{a-b}\right) = 3 \)

Обозначим \( x = \frac{a+2b}{a-b} \). Перепишем уравнение:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Находим корни:

1. \( x = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к обозначению \( x \):

1. Если \( x = 3 \):

\[ \frac{a+2b}{a-b} = 3 \implies a + 2b = 3(a - b) \implies a + 2b = 3a - 3b \]

Переносим все в одну сторону:

\[ a - 3a + 2b + 3b = 0 \implies -2a + 5b = 0 \implies a = \frac{5b}{2} \]

2. Если \( x = -1 \):

\[ \frac{a+2b}{a-b} = -1 \implies a + 2b = -1(a - b) \implies a + 2b = -a + b \]

Переносим все в одну сторону:

\[ a + a + 2b - b = 0 \implies 2a + b = 0 \implies a = -\frac{b}{2} \]

Таким образом, из третьего уравнения можно выразить \( a \) как:

\[ a = \frac{5b}{2} \quad \text{или} \quad a = -\frac{b}{2} \]

Итоговый результат:

1. Из первого уравнения: \( a = 4b \) или \( a = -b \).
2. Из второго уравнения: \( a = \frac{b}{3} \) или \( a = -\frac{b}{7} \).
3. Из третьего уравнения: \( a = \frac{5b}{2} \) или \( a = -\frac{b}{2} \).

Теперь у вас есть различные способы выразить \( a \) через \( b \) из каждого из заданных уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!