Даны векторы a(0;7;-6), b (-2;1;-4), c (2;-9;8), d (3;-6;1) Найти: а) орт и направляющие косинусы вектора а; б) (-4a -3b)2, (a -3b)×b; в) пр√(a+b)×(-4a-c); г)площадь параллелограмма, построенного на векторах a+4c и -4a-3b

Здравствуйте! Давайте разберем вашу задачу поэтапно.

а) Орт и направляющие косинусы вектора a

Вектор \( a = (0; 7; -6) \). Чтобы найти направляющие косинусы, сначала нужно найти длину вектора \( a \):

\[ |a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{0^2 + 7^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 49 + 36} = \sqrt{85} \]

Теперь найдём направляющие косинусы:

\[ \cos \alpha = \frac{x}{|a|} = \frac{0}{\sqrt{85}} = 0 \] \[ \cos \beta = \frac{y}{|a|} = \frac{7}{\sqrt{85}} \] \[ \cos \gamma = \frac{z}{|a|} = \frac{-6}{\sqrt{85}} \]

Таким образом, направляющие косинусы вектора \( a \) равны:

\[ \cos \alpha = 0, \quad \cos \beta = \frac{7}{\sqrt{85}}, \quad \cos \gamma = \frac{-6}{\sqrt{85}} \]

б) Вычисления \((-4a - 3b)^2\) и \((a - 3b) \times b\)

1. Найдем \(-4a - 3b\):

\[ -4a = -4(0; 7; -6) = (0; -28; 24) \] \[ -3b = -3(-2; 1; -4) = (6; -3; 12) \]

Теперь складываем:

\[ -4a - 3b = (0; -28; 24) + (6; -3; 12) = (6; -31; 36) \]

Теперь найдем квадрат:

\[ (-4a - 3b)^2 = 6^2 + (-31)^2 + 36^2 = 36 + 961 + 1296 = 2293 \]

2. Находим \((a - 3b) \times b\):

Сначала найдем \( a - 3b \):

\[ a - 3b = (0; 7; -6) - (6; -3; 12) = (-6; 10; -18) \]

Теперь вычислим векторное произведение:

\[ (a - 3b) \times b = (-6; 10; -18) \times (-2; 1; -4) \]

Используем определитель для векторного произведения:

\[ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 10 & -18 \\ -2 & 1 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(10(-4) - (-18)(1)) - \hat{j}(-6(-4) - (-18)(-2)) + \hat{k}(-6(1) - 10(-2)) \]

Вычислим это:

1. Для \( \hat{i} \): \( 10(-4) + 18 = -40 + 18 = -22 \)
2. Для \( \hat{j} \): \( 24 - 36 = -12 \), поэтому берем с учетом знака \( +12 \)
3. Для \( \hat{k} \): \( -6 + 20 = 14 \)

Таким образом, векторное произведение:

\[ (a - 3b) \times b = (-22; 12; 14) \]

в) Вычисление \(\sqrt{(a + b) \times (-4a - c)}\)

Сначала находим \( a + b \):

\[ a + b = (0; 7; -6) + (-2; 1; -4) = (-2; 8; -10) \]

Теперь находим \( -4a - c \):

\[ -4a = (0; -28; 24) \] \[ -c = (-2; 9; -8) \] \[ -4a - c = (0; -28; 24) + (-2; 9; -8) = (-2; -19; 16) \]

Теперь вычисляем векторное произведение \((a + b) \times (-4a - c)\):

\[ (-2; 8; -10) \times (-2; -19; 16) \]

Вычисляем определитель:

\[ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 8 & -10 \\ -2 & -19 & 16 \end{vmatrix} = \hat{i}(8(16) - (-10)(-19)) - \hat{j}(-2(16) - (-10)(-2)) + \hat{k}(-2(-19) - 8(-2)) \]

1. Для \( \hat{i} \): \( 128 - 190 = -62 \)
2. Для \( \hat{j} \): \( -32 - 20 = -52 \), поэтому берем с учетом знака \( +52 \)
3. Для \( \hat{k} \): \( 38 + 16 = 54 \)

Итак, векторное произведение:

\[ (a + b) \times (-4a - c) = (-62; 52; 54) \]

Теперь найдем длину этого вектора:

\[ \sqrt{(-62)^2 + 52^2 + 54^2} = \sqrt{3844 + 2704 + 2916} = \sqrt{9464} \]

г) Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(a + 4c\) и \(-4a - 3b\)

Сначала найдем векторы:

1. \( a + 4c = (0; 7; -6) + 4(2; -9; 8) = (0 + 8; 7 - 36; -6 + 32) = (8; -29; 26) \)
2. \( -4a - 3b = (6; -31; 36) \) (уже нашли ранее)

Теперь найдем векторное произведение:

\[ (a + 4c) \times (-4a - 3b) \]

Вычислим:

\[ (8; -29; 26) \times (6; -31; 36) \]

Используем определитель:

\[ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -29 & 26 \\ 6 & -31 & 36 \end{vmatrix} = \hat{i}((-29)(36) - (26)(-31)) - \hat{j}(8(36) - (26)(6)) + \hat{k}(8(-31) - (-29)(6)) \]

Теперь вычислим:

1. Для \( \hat{i} \): \( -1044 + 806 = -238 \)
2. Для \( \hat{j} \): \( 288 - 156 = 132 \), берем с учетом знака \( -132 \)
3. Для \( \hat{k} \): \( -248 + 174 = -74 \)

Итак,

\[ (a + 4c) \times (-4a - 3b) = (-238; -132; -74) \]

Теперь найдем длину этого вектора:

\[ \sqrt{(-238)^2 + (-132)^2 + (-74)^2} = \sqrt{56644 + 17424 + 5476} = \sqrt{79444} \]

Площадь параллелограмма будет равна длине векторного произведения:

\[ S = \sqrt{79444} \]

Вывод

• Направляющие косинусы вектора \( a \): \( \cos \alpha = 0, \cos \beta = \frac{7}{\sqrt{85}}, \cos \gamma = \frac{-6}{\sqrt{85}} \)
• \((-4a - 3b)^2 = 2293\), \((a - 3b) \times b = (-22; 12; 14)\)
• \(\sqrt{(a + b) \times (-4a - c)} = \sqrt{9464}\)
• Площадь параллелограмма = \(\sqrt{79444}\)

Если есть еще вопросы или нужно объяснить какой-то момент подробнее, не стесняйтесь спрашивать!