Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, апофема которой равна 16 см и образует с плоскостью основания угол 30°.
Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды.
Определим высоту пирамиды. У нас есть апофема (l), равная 16 см, и угол между апофемой и плоскостью основания (α) равен 30°.
Используя тригонометрию, высота (h) пирамиды может быть найдена через апофему: \[ h = l \cdot \cos(α) = 16 \cdot \cos(30°) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13,86 \ \text{см}. \]
Найдите сторону основания. Так как это правильная четырёхугольная (квадратная) пирамида, основанием является квадрат. Площадь основания (S) равна: \[ S = a^2, \] где a — длина стороны квадрата.
Зная, что апофема образует угол 30° с плоскостью основания, мы можем найти радиус описанной окружности основания (R), который равен: \[ R = l \cdot \sin(α) = 16 \cdot \sin(30°) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \ \text{см}. \]
Радиус R равен половине диагонали квадрата: \[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2}. \] Приравняв обе формулы, мы получаем: \[ 8 = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow a \sqrt{2} = 16 \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \approx 11,31 \ \text{см}. \]
Теперь вычислим площадь основания: \[ S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 \ \text{см}^2. \]
Теперь можем найти объем V пирамиды по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 8\sqrt{3} = \frac{1024\sqrt{3}}{3} \approx 1182,52 \ \text{см}^3. \]
Таким образом, объем правильной четырёхугольной пирамиды составляет примерно \( \frac{1024\sqrt{3}}{3} \) или 1182,52 см³.
