Алфавит племени состоит из 4 букв – a, b, c, d. В тексте из 64 встречаются: «а» – 32 раза, «b» – 16, «с» – 8, «d» – 8. Какое количество информации несет в себе любое слово из этого текста, составленное из 5 букв?
Чтобы определить, сколько информации несет любое слово из пяти букв, составленное из букв племени (a, b, c, d), нужно использовать формулу для вычисления количества информации в каждом символе текста:
- Сначала рассчитаем общую вероятность каждой буквы на основе их частоты в тексте:
Вероятность буквы 'a': \[ P(a) = \frac{32}{64} = 0.5 \]
Вероятность буквы 'b': \[ P(b) = \frac{16}{64} = 0.25 \]
Вероятность буквы 'c': \[ P(c) = \frac{8}{64} = 0.125 \]
Вероятность буквы 'd': \[ P(d) = \frac{8}{64} = 0.125 \]
- Далее, рассчитаем информацию, содержащуюся в каждой букве, используя формулу Шеннона для вычисления информации: \[ I(x) = - \log_2(P(x)) \]
Теперь рассчитаем информацию для каждой буквы:
Для 'a': \[ I(a) = - \log_2(0.5) = 1 \text{ бит} \]
Для 'b': \[ I(b) = - \log_2(0.25) = 2 \text{ бита} \]
Для 'c': \[ I(c) = - \log_2(0.125) = 3 \text{ бита} \]
Для 'd': \[ I(d) = - \log_2(0.125) = 3 \text{ бита} \]
- Теперь найдем среднее количество информации на символ, исходя из вероятностей и информации каждой буквы:
\[ I_{\text{ср}} = P(a) \cdot I(a) + P(b) \cdot I(b) + P(c) \cdot I(c) + P(d) \cdot I(d) \]
Подставим значения:
\[ I_{\text{ср}} = 0.5 \cdot 1 + 0.25 \cdot 2 + 0.125 \cdot 3 + 0.125 \cdot 3 \] \[ I_{\text{ср}} = 0.5 + 0.5 + 0.375 + 0.375 \] \[ I_{\text{ср}} = 1.75 \text{ бита} \]
- Поскольку слово состоит из 5 букв, общее количество информации в слове будет:
\[ I_{\text{слово}} = I_{\text{ср}} \cdot 5 \] \[ I_{\text{слово}} = 1.75 \cdot 5 = 8.75 \text{ бит} \]
Таким образом, любое слово из этого текста, составленное из 5 букв, несет в себе 8.75 бит информации.
