Из точки вне окружности проведена касательная равна 20 см найти радиус окружности если расстояние от точки до окружности равна 10 см

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть точка \( P \), которая находится вне окружности, и из неё проведена касательная \( PT \) к окружности, длина которой равна 20 см. Также дано, что расстояние от точки \( P \) до окружности \( O \) составляет 10 см. Необходимо найти радиус окружности \( R \).

Сначала вспомним, что для касательной, проведенной из внешней точки к окружности, выполняется следующее соотношение:

\[ PT^2 = PO^2 - R^2 \]

где:

• \( PT \) — длина касательной,
• \( PO \) — расстояние от точки до центра окружности,
• \( R \) — радиус окружности.

Дано, что \( PT = 20 \, \text{см} \) и расстояние от точки до окружности \( PO = R + 10 \, \text{см} \) (поскольку расстояние от точки \( P \) до окружности включается радиус \( R \) и дополнительное расстояние 10 см).

Теперь подставим это в формулу:

\[ 20^2 = (R + 10)^2 - R^2 \]

Рассчитаем \( 20^2 \):

\[ 400 = (R + 10)^2 - R^2 \]

Теперь расширим выражение \( (R + 10)^2 \):

\[ (R + 10)^2 = R^2 + 20R + 100 \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ 400 = R^2 + 20R + 100 - R^2 \]

Сократим \( R^2 \):

\[ 400 = 20R + 100 \]

Теперь вычтем 100 из обеих сторон:

\[ 300 = 20R \]

Разделим обе стороны на 20:

\[ R = 15 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус окружности равен \( 15 \, \text{см} \).