-4х^2+6х<=0

Чтобы решить неравенство \(-4x^2 + 6x \leq 0\), давайте сначала преобразуем его.

1. Переносим все члены в одну сторону: \(-4x^2 + 6x \leq 0\) можно переписать в виде: \(4x^2 - 6x \geq 0\)

2. Выносим общий множитель: \(2x(2x - 3) \geq 0\)

Теперь у нас есть произведение двух множителей \(2x\) и \(2x - 3\), и мы ищем, когда это произведение больше или равно нулю.

3. Находим нули:

   • \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
   • \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)

4. Определяем интервалы: Теперь мы делим числовую прямую на три интервала, основываясь на найденных нулях:

   • \((-∞, 0)\)
   • \((0, \frac{3}{2})\)
   • \((\frac{3}{2}, +∞)\)

5. Проверяем знаки на каждом интервале:

   • Для интервала \((-∞, 0)\): выберем, например, \(x = -1\): \(2(-1)(2(-1) - 3) = 2(-1)(-5) = 10 > 0\) (знак положительный)
   • Для интервала \((0, \frac{3}{2})\): выберем \(x = 1\): \(2(1)(2(1) - 3) = 2(1)(-1) = -2 < 0\) (знак отрицательный)
   • Для интервала \((\frac{3}{2}, +∞)\): выберем \(x = 2\): \(2(2)(2(2) - 3) = 2(2)(1) = 4 > 0\) (знак положительный)

6. Составляем итоговое решение: Произведение \(2x(2x - 3)\) больше или равно нулю на интервалах \((-∞, 0]\) и \([ \frac{3}{2}, +∞ )\).

Таким образом, ответом на неравенство будет: \[ x \in (-∞, 0] \cup [\frac{3}{2}, +∞) \]