Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. От пристани А к пристани В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, доплыв до…
Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. От пристани А к пристани В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, доплыв до пристани В, тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде равна \( v \) км/ч. Скорость лодки по течению будет \( v + 4 \) км/ч, а против течения — \( v - 4 \) км/ч.
Плот проплыл 28 км за 7 часов (потому что он стартовал на час раньше лодки), следовательно, его скорость равна:
\[ \text{Скорость плота} = \frac{28 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}. \]
Скорость плота равна скорости течения, что совпадает с данными задачи, где скорость течения равна 4 км/ч.
Теперь найдем время, за которое лодка проплыла в одно направление. Лодка отправилась через 1 час после плота, когда последний уже проплыл 28 км. Оставшееся расстояние до пристани В составляет:
\[ 45 \text{ км} - 28 \text{ км} = 17 \text{ км}. \]
Время, за которое лодка доплыла до пристани В, равно:
\[ t_1 = \frac{17 \text{ км}}{v + 4 \text{ км/ч}}. \]
Поскольку лодка вернулась с пристани В к пристани А, нам нужно будет добавить время, затраченное на обратный путь, которое равняется:
\[ t_2 = \frac{45 \text{ км}}{v - 4 \text{ км/ч}}. \]
В этом случае общее время, проведенное лодкой в пути, составляет:
\[ t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = \frac{17}{v + 4} + \frac{45}{v - 4}. \]
Так как лодка ушла на 1 час позже плота, общее время, затраченное лодкой, будет на 1 час меньше, чем время, затраченное плотом. Таким образом, время, затраченное плотом, равно 7 часам:
\[ \frac{17}{v + 4} + \frac{45}{v - 4} = 6. \]
Теперь решим это уравнение.
- Умножим обе стороны уравнения на \((v + 4)(v - 4)\):
\[ 17(v - 4) + 45(v + 4) = 6(v + 4)(v - 4). \]
- Раскроем скобки:
\[ 17v - 68 + 45v + 180 = 6(v^2 - 16). \]
- Упростим:
\[ 62v + 112 = 6v^2 - 96. \]
- Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ 6v^2 - 62v - 208 = 0. \]
- Разделим на 2:
\[ 3v^2 - 31v - 104 = 0. \]
- Используем дискриминант для решения:
\[ D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-104) = 961 + 1248 = 2209. \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = 47. \]
- Теперь можем найти корни:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm 47}{6}. \]
Это даёт два корня:
\[ v_1 = \frac{78}{6} = 13 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-16}{6} \quad (\text{отрицательный корень не подходит}). \]
Таким образом, скорость моторной лодки в неподвижной воде составляет:
\[ \boxed{13 \text{ км/ч}}. \]
