Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как ( v ) км/ч. Скорость лодки относительно берега будет изменяться в зависимости от направления движения: по течению ее скорость будет ( v + 4 ) км/ч, а против течения ( v - 4 ) км/ч.
- Время движения плота: Плот проплыл 28 км и его скорость будет равна скорости течения реки, То есть скорость плота составляет 4 км/ч.
Таким образом, время, которое плот двигался, равно:
[
t_{\text{плот}} = \frac{28}{4} = 7 \text{ часов}
]
- Время движения лодки: Лодка отправилась на час позже, значит, время, которое лодка провела в пути, равно ( 7 - 1 = 6 ) часов.
Лодка проплыла от пристани А до пристани В (45 км) и вернулась обратно, то есть она проплыла 90 км. Время, затраченное на путь к пристани В, а затем назад, можно выразить в зависимости от скорости:
[
t_{\text{лодка}} = \frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4}
]
По условию задачи это время равно 6 часам:
[
\frac{45}{v + 4} + \frac{45}{v - 4} = 6
]
- Решение уравнения: Умножим обе части уравнения на ( (v + 4)(v - 4) ):
[
45(v - 4) + 45(v + 4) = 6(v + 4)(v - 4)
]
Упрощаем:
[
45v - 180 + 45v + 180 = 6(v^2 - 16)
]
[
90v = 6v^2 - 96
]
Переносим все в одну сторону:
[
6v^2 - 90v - 96 = 0
]
- Решение квадратного уравнения: Упрощаем уравнение, делим на 6:
[
v^2 - 15v - 16 = 0
]
Теперь находим дискриминант:
[
D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289
]
Решаем уравнение:
[
v = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}
]
Варианты:
( v = \frac{32}{2} = 16 ) км/ч
( v = \frac{-2}{2} = -1 ) (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной).
- Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде ( v = 16 ) км/ч.
