График функции будет иметь асимптоты, локальный максимум в точке (0;0) и разрыв в точке x=-5.

Для понимания поведения функции с указанными свойствами, давайте рассмотрим каждую из них подробнее.

1. Асимптоты: Асимптоты — это линии, к которым график функции приближается, но никогда не пересекает (вертикальные асимптоты) или может пересекать, но не в пределах области определения функции (горизонтальные и наклонные асимптоты). Для построения графика с асимптотами необходимо знать, при каких значениях переменной \( x \) функция стремится к бесконечности или имеет неопределенности.

2. Локальный максимум в точке (0;0): Локальный максимум означает, что в окрестности точки (0;0) значение функции больше, чем в некоторой близости (то есть, если \( f(x) \) находится в окрестности нуля, то \( f(0) \) должно быть максимальным по сравнению с другими значениями в этой окрестности). Для функции с локальным максимумом в этой точке, производная функции в данной точке будет равна нулю (\( f'(0) = 0 \)) и должна изменять знак.

3. Разрыв в точке \( x = -5 \): Разрыв функции в данной точке может быть как разрывом первого рода (скачок), так и разрывом второго рода (бесконечный разрыв). Это означает, что в точке \( x = -5 \) или значения функции не существует, или они не определены.

Теперь, чтобы создать функцию с такими характеристиками, можно воспользоваться сочетанием рациональных функций:

Примером такой функции может служить:

\[ f(x) = \frac{x^2}{x + 5} \]

Здесь:

• При \( x = -5 \) функция имеет разрыв, так как производная в этой точке не определена.
• В точке (0;0) функция достигает значения 0 и может увеличить свои значения при движении в сторону, создавая локальный максимум, так как \( f'(x) \) меняет знак.
• Можно добавить дополнительные члены к функции, чтобы учесть наличие асимптот, например, если \( x \) стремится к бесконечности, \( f(x) \) будет стремиться к 0 (горизонтальная асимптота).

Таким образом, исследуя данную функцию, можно уточнить её характеристики и построить график, учитывая отмеченные свойства.