Решите неравенство x ^ 2 + 7x - 30 = 0 С рисунком
Для решения неравенства \( x^2 + 7x - 30 = 0 \), сначала необходимо найти корни квадратного уравнения. Это можно сделать с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где:
- \( a = 1 \)
- \( b = 7 \)
- \( c = -30 \)
Подставим значения в формулу:
Посчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \]
Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -10 \).
Теперь, для того чтобы решить неравенство \( x^2 + 7x - 30 < 0 \), нам нужно определить промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения.
Рассмотрим интервалы, полученные от корней:
- \( (-\infty, -10) \)
- \( (-10, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
На каждом из интервалов выберем пробное значение и подставим его в неравенство:
Для интервала \( (-\infty, -10) \), выберем \( x = -11 \): \[ (-11)^2 + 7 \cdot (-11) - 30 = 121 - 77 - 30 = 14 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \( (-10, 3) \), выберем \( x = 0 \): \[ 0^2 + 7 \cdot 0 - 30 = -30 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \( (3, +\infty) \), выберем \( x = 4 \): \[ 4^2 + 7 \cdot 4 - 30 = 16 + 28 - 30 = 14 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, неравенство \( x^2 + 7x - 30 < 0 \) выполняется на интервале \( (-10, 3) \).
Теперь изобразим результат на графике.
График функции
Ниже представлен график функции \( y = x^2 + 7x - 30 \):
y
↑
| *
| * *
| * *
| * *
| * *
| * *
|*_____________________________*____________________ x
-10 0 3
График пересекает ось абсцисс в точках \( x = -10 \) и \( x = 3 \). Область, где функция ниже оси (отрицательная), соответствует интервалу \( (-10, 3) \).
