X2-2x-48>0 решите неравенство
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 2x - 48 > 0\), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 - 2x - 48 = 0\).
Мы можем воспользоваться формулой квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -48\). Подставим значения в формулу:
- Находим дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \]
- Теперь можем найти корни:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 14}{2} \]
Это даст нам два корня:
\[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 8\) и \(x_2 = -6\). Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала:
- \((- \infty, -6)\)
- \((-6, 8)\)
- \((8, +\infty)\)
Теперь будем исследовать знаки функции на каждом из этих интервалов. Мы можем взять тестовые точки из каждого интервала.
- Для интервала \((- \infty, -6)\), выберем, например, \(x = -7\):
\[ (-7)^2 - 2(-7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0 \]
- Для интервала \((-6, 8)\), выберем, например, \(x = 0\):
\[ 0^2 - 2(0) - 48 = -48 < 0 \]
- Для интервала \((8, +\infty)\), выберем, например, \(x = 9\):
\[ 9^2 - 2(9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0 \]
Таким образом, функция \(x^2 - 2x - 48\) положительна на интервалах \((- \infty, -6)\) и \((8, +\infty)\).
Теперь запишем решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, -6) \cup (8, +\infty) \]
То есть, ответом к вашему неравенству будет:
\[ x < -6 \quad \text{или} \quad x > 8 \]
