Найдите наименьшее значение функции y=6cosx−7x+8 на отрезке [−3π/2;0]. 14 10 16 16π

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 6\cos x - 7x + 8 \) на отрезке \([-3\pi/2; 0]\), нужно сначала определить критические точки. Для этого вычислим производную функции и найдем её нули.

1. Найдем производную функции: \[ y' = -6\sin x - 7 \]

2. Установим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ -6\sin x - 7 = 0 \implies \sin x = -\frac{7}{6} \] Учитывая, что значение \(\sin x\) не может превышать 1 или быть меньше -1, у нас нет действительных решений из этого уравнения.

3. Теперь необходимо проверить значение функции в концах отрезка \([-3\pi/2; 0]\):

   • Для \(x = -3\pi/2\): \[ y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 6\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 7\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = 6 \cdot 0 + \frac{21\pi}{2} + 8 = \frac{21\pi}{2} + 8 \]
   • Для \(x = 0\): \[ y(0) = 6\cos(0) - 7(0) + 8 = 6 \cdot 1 + 0 + 8 = 14 \]

Теперь мы можем сравниться значения функции на границах отрезка:

• \(y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{21\pi}{2} + 8\)
• \(y(0) = 14\)

Чтобы определить, что меньше, заметим, что \(\frac{21\pi}{2}\) приближенно равно 32.99, а значит \(\frac{21\pi}{2} + 8\) значительно больше 14.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-3\pi/2; 0]\) равно \(14\) в точке \(x = 0\).

Ответ: 14.