В прямоугольной системе координат построен квадрат с вершинами в точках (1;1), (1; -3), (-3; 1), (-3; -3), внутри него наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри прямоугольника с вершинами в точках (-1; -1), (-2; -1), (-2; -3) (-1; -3).
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Определение площадей фигур.
Сначала найдем площадь квадрата, вершины которого находятся в точках (1;1), (1; -3), (-3; 1) и (-3; -3).
Чтобы определить его площадь, нужно найти длину стороны. Расстояние между двумя противоположными вершинами можно вычислить с помощью формулы: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Выберем, например, вершины (1; 1) и (-3; -3): \[ d = \sqrt{((-3) - 1)^2 + ((-3) - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]
Поскольку это квадрат, длина стороны будет равна \(4\), так как каждая сторона равна длине между двумя соседними вершинами.
Площадь квадрата: \[ S_{\text{квадрат}} = \text{сторона}^2 = 4^2 = 16. \]
Площадь прямоугольника.
Теперь найдем площадь прямоугольника с вершинами в точках (-1; -1), (-2; -1), (-2; -3), (-1; -3).
Длина и ширина прямоугольника:
- Длина (по оси X): |-1 - (-2)| = 1.
- Ширина (по оси Y): |-1 - (-3)| = 2.
Площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольник}} = \text{длина} \times \text{ширина} = 1 \times 2 = 2. \]
Вероятность нахождения точки внутри прямоугольника.
Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри квадрата окажется также внутри прямоугольника, можно найти по формуле: \[ P = \frac{S_{\text{прямоугольник}}}{S_{\text{квадрат}}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}. \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри прямоугольника, равна \(\frac{1}{8}\).
