3.Лежат ли точки А(5, -1;0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), N( 1; 1; -2) в одной плоскости?

Чтобы проверить, лежат ли точки A, B, C и N в одной плоскости, нужно выяснить, существуют ли параметры, такие что точка N может быть выражена как линейная комбинация точек A, B и C.

Точки A, B и C задают векторное пространство, и мы можем использовать векторы, образованные этими точками, для проверки. Для этого мы можем выполнить следующий алгоритм:

1. Находим векторы AB, AC и AN:

   • Вектор AB = B - A = (-2 - 5; 7 - (-1); 1 - 0) = (-7; 8; 1)
   • Вектор AC = C - A = (12 - 5; -15 - (-1); -7 - 0) = (7; -14; -7)
   • Вектор AN = N - A = (1 - 5; 1 - (-1); -2 - 0) = (-4; 2; -2)

2. Теперь мы можем проверить, линейно ли зависимы векторы AB, AC, AN. Если векторы линейно зависимы, то точки A, B, C, N находятся в одной плоскости.

Для этого мы можем составить матрицу из этих векторов и вычислить ее определитель (или ранг):

\[ \begin{vmatrix} -7 & 7 & -4 \\ 8 & -14 & 2 \\ 1 & -7 & -2 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ D = -7 \begin{vmatrix} -14 & 2 \\ -7 & -2 \end{vmatrix} - 7 \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 8 & -14 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем каждую из подматриц:

1. \( \begin{vmatrix} -14 & 2 \\ -7 & -2 \end{vmatrix} = (-14)(-2) - (-7)(2) = 28 + 14 = 42 \)

2. \( \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (8)(-2) - (2)(1) = -16 - 2 = -18 \)

3. \( \begin{vmatrix} 8 & -14 \\ 1 & -7 \end{vmatrix} = (8)(-7) - (-14)(1) = -56 + 14 = -42 \)

Подставляем обратно:

\[ D = -7(42) - 7(-18) - 4(-42) \] \[ D = -294 + 126 + 168 = 0 \]

Так как определитель равен 0, это означает, что векторы AB, AC и AN линейно зависимы, и следовательно, точки A, B, C и N лежат в одной плоскости.