3.Лежат ли точки А(5, -1;0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), N( 1; 1; -2) в одной плоскости?

Чтобы проверить, лежат ли точки \(A(5, -1, 0)\), \(B(-2, 7, 1)\), \(C(12, -15, -7)\) и \(N(1, 1, -2)\) в одной плоскости, можно использовать метод вычисления объема тетрады, образованной этими четырьмя точками. Если объем равен нулю, то точки лежат в одной плоскости.

1. Сначала найдем векторы, исходящие из одной из этих точек. Для удобства выберем точку \(A\) в качестве начала координат: \[ \vec{AB} = B - A = (-2 - 5, 7 - (-1), 1 - 0) = (-7, 8, 1) \] \[ \vec{AC} = C - A = (12 - 5, -15 - (-1), -7 - 0) = (7, -14, -7) \] \[ \vec{AN} = N - A = (1 - 5, 1 - (-1), -2 - 0) = (-4, 2, -2) \]

2. Теперь составим матрицу из координат этих векторов: \[ M = \begin{vmatrix} -7 & 8 & 1 \\ 7 & -14 & -7 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]

3. Вычислим определитель этой матрицы: \[ \text{det}(M) = -7 \begin{vmatrix} -14 & -7 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - 8 \begin{vmatrix} 7 & -7 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 7 & -14 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} \]

   Сначала считаем миноры: \[ \begin{vmatrix} -14 & -7 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = (-14)(-2) - (-7)(2) = 28 + 14 = 42 \]

   \[ \begin{vmatrix} 7 & -7 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (-7)(-4) = -14 - 28 = -42 \]

   \[ \begin{vmatrix} 7 & -14 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = (7)(2) - (-14)(-4) = 14 - 56 = -42 \]

   Теперь подставляем в выражение для определителя: \[ \text{det}(M) = -7 \cdot 42 - 8 \cdot (-42) + 1 \cdot (-42) = -294 + 336 - 42 = 0 \]

Так как определитель равен нулю, это значит, что объем тетрады равен нулю и точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(N\) лежат в одной плоскости.